Задача 109. Решите неравенство \(\dfrac{1}{{{x^2} — 4}} + \dfrac{4}{{2{x^2} + 7x + 6}} \leqslant \dfrac{1}{{2x + 3}} + \dfrac{4}{{2{x^3} + 3{x^2} — 8x — 12}}\)
ОТВЕТ: \(\left( { — 2; — \dfrac{3}{2}} \right) \cup \left[ {1;2} \right) \cup \left[ {5;\infty } \right).\)
\(2{x^2} + 7x + 6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = — \dfrac{3}{2},}\\{{x} = — 2.}\end{array}} \right.\) Тогда: \(2{x^2} + 7x + 6 = 2\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {2x + 3} \right)\left( {x + 2} \right).\) \(2{x^3} + 3{x^2} — 8x — 12 = {x^2}\left( {2x + 3} \right) — 4\left( {2x + 3} \right) = \left( {2x + 3} \right)\left( {{x^2} — 4} \right) = \left( {2x + 3} \right)\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right).\) \(\dfrac{1}{{{x^2} — 4}} + \dfrac{4}{{2{x^2} + 7x + 6}} \le \dfrac{1}{{2x + 3}} + \dfrac{4}{{2{x^3} + 3{x^2} — 8x — 12}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{4}{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} — \dfrac{1}{{2x + 3}} — \dfrac{4}{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2x + 3 + 4\left( {x — 2} \right) — \left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right) — 4}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\dfrac{{2x + 3 + 4x — 8 — {x^2} + 4 — 4}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\dfrac{{ — {x^2} + 6x — 5}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\dfrac{{{x^2} — 6x + 5}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \ge 0.\) \({x^2} — 6x + 5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 5,}\\{{x} = 1.}\end{array}} \right.\) Тогда: \({x^2} — 6x + 5 = \left( {x — 5} \right)\left( {x — 1} \right).\) \(\dfrac{{{x^2} — 6x + 5}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x — 5} \right)\left( {x — 1} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — 2; — \dfrac{3}{2}} \right) \cup \left[ {1;2} \right) \cup \left[ {5;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( { — 2; — \dfrac{3}{2}} \right) \cup \left[ {1;2} \right) \cup \left[ {5;\infty } \right).\) 