Рациональные неравенства. Задача 22

Задача 22. Решите неравенство \({x^2}-5 \leqslant 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {-\sqrt 5 ;\;\sqrt 5 } \right].\)

Решение

\({x^2}-5 \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2}-{\left( {\sqrt 5 } \right)^2} \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left( {x-\sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right) \le 0.\)

Решим неравенство методом интервалов:

\(\left( {x-\sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-\sqrt 5 = 0,}\\{x + \sqrt 5 = 0\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt 5 ,\,\,\,}\\{x = -\sqrt 5 .}\end{array}} \right.\)

Следовательно, решение исходного неравенства: \(x\, \in \,\left[ {-\sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right].\)

Ответ: \(\left[ {-\sqrt 5 ;\;\sqrt 5 } \right].\)