\(\dfrac{3}{x} \le \dfrac{{x + 3}}{6}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{3}{x}-\dfrac{{x + 3}}{6} \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2} + 3x-18}}{{6x}} \ge 0.\)
Решим неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:
\({x^2} + 3x-18 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\,\,\,}\\{x = -6.}\end{array}} \right.\)
Найдём нули знаменателя: \(6x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 0.\)
Следовательно, решение исходного неравенства: \(x\, \in \,\left[ {-6;0} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right).\)
Ответ: \(\left[ {-6;\;0} \right) \cup \left[ {3;\; + \infty } \right).\)