Рациональные неравенства. Задача 70

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;1} \right) \cup \left\{ 2 \right\}.\)

\(x \le 3-\dfrac{1}{{x-1}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x-3}}{1} + \dfrac{1}{{x-1}} \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}-4x + 3 + 1}}{{x-1}} \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{x^2}-4x + 4}}{{x-1}} \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}}{{x-1}} \le 0.\)

Решим неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:

\({\left( {x-2} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 2.\)

Найдём нули знаменателя:    \(x-1 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 1.\)

Следовательно, решение исходного неравенства:  \(x\, \in \,\left( {-\infty ;1} \right) \cup \left\{ 2 \right\}.\)

Ответ: \(\left( {-\infty ;\;1} \right) \cup \left\{ 2 \right\}.\)