Рациональные неравенства. Задача 73

Задача 73. Решите неравенство \({x^2} — 3x + 1 — \dfrac{{{x^3} + {x^2} + 3x — 21}}{x} \geqslant 3\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 3} \right] \cup \left( {0;\dfrac{7}{4}} \right].\)

Решение

\({x^2} — 3x + 1 — \dfrac{{{x^3} + {x^2} + 3x — 21}}{x} \ge 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^3} — 3{x^2} + x — {x^3} — {x^2} — 3x + 21 — 3x}}{x} \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{ — 4{x^2} — 5x + 21}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{4{x^2} + 5x — 21}}{x} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:

\(4{x^2} + 5x — 21 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = — 3,}\\{{x} = \dfrac{7}{4}.\;}\end{array}} \right.\)

Найдём нули знаменателя: \(x = 0.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — \infty ; — 3} \right] \cup \left( {0;\dfrac{7}{4}} \right].\)

Ответ: \(\left( { — \infty ; — 3} \right] \cup \left( {0;\dfrac{7}{4}} \right]\).