\(\dfrac{{{x^5} — {x^2}}}{{{x^2}}} \ge \dfrac{{{x^3} — 1}}{{4{x^2}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{4{x^5} — 4{x^2} — {x^3} + 1}}{{4{x^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{4{x^2}\left( {{x^3} — 1} \right) — \left( {{x^3} — 1} \right)}}{{4{x^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {{x^3} — 1} \right)\left( {4{x^2} — 1} \right)}}{{4{x^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {{x^3} — {1^3}} \right)\left( {{{\left( {2x} \right)}^2} — {1^2}} \right)}}{{4{x^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x — 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {2x — 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{4{x^2}}} \ge 0.\)
Так как дискриминант квадратного трёхчлена \({x^2} + x + 1\) меньше нуля, то \({x^2} + x + 1 > 0\) при \(x \in R.\) Следовательно:
\(\dfrac{{\left( {x — 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {2x — 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{4{x^2}}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x — 1} \right)\left( {2x — 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{4{x^2}}} \ge 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ { — \dfrac{1}{2};0} \right) \cup \left( {0;\;\dfrac{1}{2}} \right] \cup \left[ {1;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left[ { — \dfrac{1}{2};0} \right) \cup \left( {0;\;\dfrac{1}{2}} \right] \cup \left[ {1;\infty } \right).\)