Рациональные неравенства. Задача 77

Задача 77. Решите неравенство \(\dfrac{{{x^3} + {x^2}}}{{{x^2} — 2x + 1}} \leqslant \dfrac{9}{4} \cdot \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} — 2x + 1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — \dfrac{3}{2}} \right] \cup \left[ { — 1;1} \right) \cup \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right].\)

Решение

\(\dfrac{{{x^3} + {x^2}}}{{{x^2} — 2x + 1}} \le \dfrac{9}{4} \cdot \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} — 2x + 1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{4{x^3} + 4{x^2} — 9x — 9}}{{4{{\left( {x — 1} \right)}^2}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{4{x^2}\left( {x + 1} \right) — 9\left( {x + 1} \right)}}{{4{{\left( {x — 1} \right)}^2}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} — 9} \right)}}{{4{{\left( {x — 1} \right)}^2}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{{\left( {2x} \right)}^2} — {3^2}} \right)}}{{4{{\left( {x — 1} \right)}^2}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x — 3} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{4{{\left( {x — 1} \right)}^2}}} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — \infty ; — \dfrac{3}{2}} \right] \cup \left[ { — 1;1} \right) \cup \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right].\)

Ответ: \(\left( { — \infty ; — \dfrac{3}{2}} \right] \cup \left[ { — 1;1} \right) \cup \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right].\)