Рациональные неравенства. Задача 78

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 3} \right) \cup \left( { — 2;\; — \dfrac{5}{3}} \right] \cup \left( { — 1;0} \right].\)

\(\dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{2}{{x + 2}} — \dfrac{6}{{x + 3}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) — 6\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^2} + 2x + 3x + 6 + 2{x^2} + 6x + 2x + 6 — 6{x^2} — 12x — 6x — 12}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{ — 3{x^2} — 5x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{x\left( {3x + 5} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:   \(x \in \left( { — \infty ; — 3} \right) \cup \left( { — 2; — \dfrac{5}{3}} \right] \cup \left( { — 1;0} \right].\)

Ответ:  \(\left( { — \infty ; — 3} \right) \cup \left( { — 2; — \dfrac{5}{3}} \right] \cup \left( { — 1;0} \right].\)