Задача 80. Решите неравенство \(2x + 1 — \dfrac{{21x + 39}}{{{x^2} + x — 2}} \geqslant — \dfrac{1}{{x + 2}}\)
ОТВЕТ: \(\left[ { — 3; — 2} \right) \cup \left( { — 2;\;1} \right) \cup \left[ {\dfrac{7}{2};\infty } \right).\)
\(2x + 1 — \dfrac{{21x + 39}}{{{x^2} + x — 2}} \ge — \dfrac{1}{{x + 2}}.\) \({x^2} + x — 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = -2,}\\{{x} = 1.\;\;}\end{array}} \right.\) Тогда: \({x^2} + x — 2 = \left( {x + 2} \right)\left( {x — 1} \right).\) \(2x + 1 — \dfrac{{21x + 39}}{{{x^2} + x — 2}} \ge — \dfrac{1}{{x + 2}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2x + 1}}{1} — \dfrac{{21x + 39}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x + 2}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\dfrac{{2{x^3} + 2{x^2} — 4x + {x^2} + x — 2 — 20x — 40}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} + x — 2} \right) — 21x — 39 + x — 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{x^3} + 3{x^2} — 23x — 42}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \ge 0.\) Найдём нули числителя: \(2{x^3} + 3{x^2} — 23x — 42 = 0.\) Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \( — 42,\) то есть: \( \pm 1;\,\,\, \pm 2;\,\,\, \pm 3;\,\,\, \pm 6;\,\,\, \pm 7;\,\,\, \pm 14;\,\,\, \pm 21;\,\,\, \pm 42.\) Подходит \(x = — 2.\) Разделим многочлен \(2{x^3} + 3{x^2} — 23x — 42\) на многочлен \(x + 2:\) Следовательно, многочлен \(2{x^3} + 3{x^2} — 23x — 42\) раскладывается на множители \(\left( {2{x^2} — x — 21} \right)\left( {x + 2} \right).\) Тогда: \(\left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} — x — 21} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{2{x^2} — x — 21 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,}\\{x = -3,}\\{x = \dfrac{7}{2}.\;}\end{array}} \right.\) Следовательно, неравенство примет вид: \(\dfrac{{2\left( {x + 3} \right)\left( {x — \frac{7}{2}} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\left( {x + 3} \right)\left( {2x-7} \right)}}{{x — 1}} \ge 0,}\\{x + 2 \ne 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ { — 3; — 2} \right) \cup \left( { — 2;1} \right) \cup \left[ {\dfrac{7}{2};\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ { — 3; — 2} \right) \cup \left( { — 2;1} \right) \cup \left[ {\dfrac{7}{2};\infty } \right).\) 
