Рациональные неравенства. Задача 81

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 1} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {2;6} \right).\)

\({x^3} + 5{x^2} + \dfrac{{28{x^2} + 5x — 30}}{{x — 6}} \le 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^4} — 6{x^3} + 5{x^3} — 30{x^2} + 28{x^2} + 5x — 30 — 5x + 30}}{{x — 6}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^4} — {x^3} — 2{x^2}}}{{x — 6}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} — x — 2} \right)}}{{x — 6}} \le 0.\)

\({x^2} — x — 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 2,\;\;}\\{{x} =  — 1.}\end{array}} \right.\)

Тогда:  \({x^2} — x — 2 = \left( {x — 2} \right)\left( {x + 1} \right).\)

\(\dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} — x — 2} \right)}}{{x — 6}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^2}\left( {x — 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x — 6}} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {2;6} \right).\)

Ответ:  \(\left( { — \infty ; — 1} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {2;6} \right).\)