Рациональные неравенства. Задача 87

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 2} \right] \cup \left( {0;2} \right].\)

\(\dfrac{x}{{2{x^2} + 12}} \le \left( {1:5} \right){x^{ — 1}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\dfrac{x}{{2{x^2} + 12}} \le \dfrac{1}{{5x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{x}{{2{x^2} + 12}} — \dfrac{1}{{5x}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{5{x^2} — 2{x^2} — 12}}{{5x\left( {2{x^2} + 12} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{3{x^2} — 12}}{{5x\left( {2{x^2} + 12} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{3\left( {{x^2} — {2^2}} \right)}}{{10x\left( {{x^2} + 6} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {{x^2} + 6} \right)}} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( { — \infty ; — 2} \right] \cup \left( {0;2} \right].\)

Ответ:  \(\left( { — \infty ; — 2} \right] \cup \left( {0;2} \right].\)