Рациональные неравенства. Задача 88

Задача 88. Решите неравенство \(\dfrac{{2 — {{\left( {x — 6} \right)}^{ — 1}}}}{{5{{\left( {x — 6} \right)}^{ — 1}} — 1}} \leqslant — 0,2\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;6} \right) \cup \left( {11;\infty } \right).\)

Решение

\(\dfrac{{2 — {{\left( {x — 6} \right)}^{ — 1}}}}{{5{{\left( {x — 6} \right)}^{ — 1}} — 1}} \le — 0,2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2 — \dfrac{1}{{x — 6}}}}{{\dfrac{5}{{x — 6}} — 1}} + \dfrac{1}{5} \le 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\dfrac{{2x — 12 — 1}}{{x — 6}}}}{{\dfrac{{5 — x + 6}}{{x — 6}}}} + \dfrac{1}{5} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{2x — 13}}{{11 — x}} + \dfrac{1}{5} \le 0,}\\{x \ne 6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{10x — 65 + 11 — x}}{{5\left( {11 — x} \right)}} \le 0,}\\{x \ne 6\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{9x — 54}}{{5\left( {11 — x} \right)}} \le 0,}\\{x \ne 6.\;\,\;\;\;\,\;\;}\end{array}} \right.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — \infty ;6} \right) \cup \left( {11;\infty } \right).\)

Ответ: \(\left( { — \infty ;6} \right) \cup \left( {11;\infty } \right).\)