\(\dfrac{{{x^4} — 5{x^3} + 3x — 25}}{{{x^2} — 5x}} — {x^2} \ge — \dfrac{1}{{x — 4}} + \dfrac{5}{x}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^4} — 5{x^3} + 3x — 25 — {x^4} + 5{x^3}}}{{{x^2} — 5x}} + \dfrac{1}{{x — 4}} \ge \dfrac{5}{x}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{3x — 25}}{{x\left( {x — 5} \right)}} + \dfrac{1}{{x — 4}} — \dfrac{5}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {3x — 25} \right)\left( {x — 4} \right) + x\left( {x — 5} \right) — 5\left( {x — 4} \right)\left( {x — 5} \right)}}{{x\left( {x — 5} \right)\left( {x — 4} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{3{x^2} — 12x — 25x + 100 + {x^2} — 5x — 5{x^2} + 25x + 20x — 100}}{{x\left( {x — 5} \right)\left( {x — 4} \right)}} \ge 0\;\,\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{ — {x^2} + 3x}}{{x\left( {x — 5} \right)\left( {x — 4} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{x\left( {x — 3} \right)}}{{x\left( {x — 5} \right)\left( {x — 4} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x — 3}}{{\left( {x — 5} \right)\left( {x — 4} \right)}} \le 0,}\\{x \ne 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {0;3} \right] \cup \left( {4;5} \right).\)
Ответ: \(\left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {0;3} \right] \cup \left( {4;5} \right).\)