Задача 92. Решите неравенство \(\dfrac{{{x^2} — 16x + 39}}{{{x^2} — 12x + 27}} \leqslant \dfrac{{x — 18}}{{x — 9}} + \dfrac{4}{{x — 8}}\)
ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;3} \right) \cup \left( {3;4} \right] \cup \left( {8;9} \right).\)
\(\dfrac{{{x^2} — 16x + 39}}{{{x^2} — 12x + 27}} \le \dfrac{{x — 18}}{{x — 9}} + \dfrac{4}{{x — 8}}.\) \({x^2} — 12x + 27 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 3,}\\{{x} = 9.}\end{array}} \right.\) Тогда: \({x^2} — 12x + 27 = \left( {x — 3} \right)\left( {x — 9} \right).\) \({x^2} — 16x + 39 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 3,\;\;}\\{{x} = 13.} \end{array}} \right.\) Тогда: \({x^2} — 16x + 39 = \left( {x — 3} \right)\left( {x — 13} \right).\) \(\dfrac{{{x^2} — 16x + 39}}{{{x^2} — 12x + 27}} \le \dfrac{{x — 18}}{{x — 9}} + \dfrac{4}{{x — 8}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x — 3} \right)\left( {x — 13} \right)}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x — 9} \right)}} — \dfrac{{x — 18}}{{x — 9}} — \dfrac{4}{{x — 8}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x — 13}}{{x — 9}} — \dfrac{{x — 18}}{{x — 9}} — \dfrac{4}{{x — 8}} \le 0,}\\{x — 3 \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x — 13 — x + 18}}{{x — 9}} — \dfrac{4}{{x — 8}} \le 0,}\\{x \ne 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{5}{{x — 9}} — \dfrac{4}{{x — 8}} \le 0,}\\{x \ne 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{5x — 40 — 4x + 36}}{{\left( {x — 9} \right)\left( {x — 8} \right)}} \le 0,}\\{x \ne 3\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x — 4}}{{\left( {x — 9} \right)\left( {x — 8} \right)}} \le 0,}\\{x \ne 3.\;\;\;\;\;\;\,\,\,\;\;}\end{array}} \right.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — \infty ;3} \right) \cup \left( {3;4} \right] \cup \left( {8;9} \right).\) Ответ: \(\left( { — \infty ;3} \right) \cup \left( {3;4} \right] \cup \left( {8;9} \right).\) 