\(\dfrac{6}{{x\sqrt 3 — 3}} + \dfrac{{x\sqrt 3 — 6}}{{x\sqrt 3 — 9}} \ge 2.\)
Пусть \(x\sqrt 3 = t.\) Тогда неравенство примет вид:
\(\dfrac{6}{{t — 3}} + \dfrac{{t — 6}}{{t — 9}} \ge 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{6t — 54 + {t^2} — 6t — 3t + 18 — 2{t^2} + 18t + 6t — 54}}{{\left( {t — 3} \right)\left( {t — 9} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{ — {t^2} + 21t — 90}}{{\left( {t — 3} \right)\left( {t — 9} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2} — 21t + 90}}{{\left( {t — 3} \right)\left( {t — 9} \right)}} \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:
\({t^2} — 21t + 90 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 15,}\\{{t} = 6.\;}\end{array}} \right.\)
Найдём нули знаменателя: \(t \ne 3,\;\;\;t \ne 9.\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 < t \le 6,\,}\\{9 < t \le 15}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 < x\sqrt 3 \le 6,\,}\\{9 < x\sqrt 3 \le 15}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{3}{{\sqrt 3 }} < x \le \dfrac{6}{{\sqrt 3 }},\,}\\{\dfrac{9}{{\sqrt 3 }} < x \le \dfrac{{15}}{{\sqrt 3 }}\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 3 < x \le 2\sqrt 3 ,\,\,}\\{3\sqrt 3 < x \le 5\sqrt 3 .}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\sqrt 3 ;2\sqrt 3 } \right] \cup \left( {3\sqrt 3 ;5\sqrt 3 } \right].\)
Ответ: \(\left( {\sqrt 3 ;2\sqrt 3 } \right] \cup \left( {3\sqrt 3 ;5\sqrt 3 } \right].\)