\(\dfrac{3}{{2 — \left( {x + 1} \right)\sqrt 3 }} + \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\sqrt 3 — 1}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt 3 — 3}} \ge 3.\)
Пусть \(\left( {x + 1} \right)\sqrt 3 = t.\) Тогда неравенство примет вид:
\(\dfrac{3}{{2 — t}} + \dfrac{{t — 1}}{{t — 3}} \ge 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{3t — 9 + 2t — 2 — {t^2} + t — 6t + 18 + 3{t^2} — 9t}}{{\left( {2 — t} \right)\left( {t — 3} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{t^2} — 9t + 7}}{{\left( {2 — t} \right)\left( {t — 3} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{t^2} — 9t + 7}}{{\left( {t — 2} \right)\left( {t — 3} \right)}} \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:
\(2{t^2} — 9t + 7 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{7}{2},}\\{{t} = 1.\;}\end{array}} \right.\)
Найдём нули знаменателя: \(t = 2,\;\;\;t = 3.\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le t < 2,\,}\\{3 < t \le \dfrac{7}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le \left( {x + 1} \right)\sqrt 3 < 2,\,}\\{3 < \left( {x + 1} \right)\sqrt 3 \le \dfrac{7}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \le x + 1 < \dfrac{2}{{\sqrt 3 }},\,}\\{\dfrac{3}{{\sqrt 3 }} < x + 1 \le \dfrac{7}{{2\sqrt 3 }}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} — 1 \le x < \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} — 1,\,\,}\\{\sqrt 3 — 1 < x \le \dfrac{7}{{2\sqrt 3 }} — 1.}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} — 1;\dfrac{2}{{\sqrt 3 }} — 1} \right) \cup \left( {\sqrt 3 — 1;\dfrac{7}{{2\sqrt 3 }} — 1} \right].\)
Ответ: \(\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} — 1;\dfrac{2}{{\sqrt 3 }} — 1} \right) \cup \left( {\sqrt 3 — 1;\dfrac{7}{{2\sqrt 3 }} — 1} \right].\)