Задача 99. Решите неравенство \({\left( {\dfrac{{10}}{{5x — 21}} + \dfrac{{5x — 21}}{{10}}} \right)^2} \leqslant \dfrac{{25}}{4}\)
ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{1}{5};\;\dfrac{{16}}{5}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{26}}{5};\;\dfrac{{41}}{5}} \right].\)
\({\left( {\dfrac{{10}}{{5x — 21}} + \dfrac{{5x — 21}}{{10}}} \right)^2} \le \dfrac{{25}}{4}.\) Пусть \(\dfrac{{5x — 21}}{{10}} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({\left( {\dfrac{1}{t} + t} \right)^2} \le \dfrac{{25}}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 2 \cdot t \cdot \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{{{t^2}}} \le \dfrac{{25}}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 2 + \dfrac{1}{{{t^2}}} — \dfrac{{25}}{4} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + \dfrac{1}{{{t^2}}} — \dfrac{{17}}{4} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{4{t^4} — 17{t^2} + 4}}{{4{t^2}}} \le 0.\) \(4{t^4} — 17{t^2} + 4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t^2 = 4,\,}\\{t^2 = \dfrac{1}{4}.}\end{array}} \right.\) Тогда: \(4{t^4} — 17{t^2} + 4 = 4\left( {{t^2} — 4} \right)\left( {{t^2} — \dfrac{1}{4}} \right).\) \(\dfrac{{4{t^4} — 17{t^2} + 4}}{{4{t^2}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {{t^2} — 4} \right)\left( {4{t^2} — 1} \right)}}{{{t^2}}} \le 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {t — 2} \right)\left( {t + 2} \right)\left( {2t — 1} \right)\left( {2t + 1} \right)}}{{{t^2}}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 \le t \le — \frac{1}{2},}\\{\dfrac{1}{2} \le t \le 2\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 \le \dfrac{{5x — 21}}{{10}} \le — \dfrac{1}{2},}\\{\dfrac{1}{2} \le \dfrac{{5x — 21}}{{10}} \le 2\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le 5x \le 16,\;\,}\\{26 \le 5x \le 41}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{5} \le x \le \dfrac{{16}}{5},\,\,\,}\\{\frac{{26}}{5} \le x \le \dfrac{{41}}{5}.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {\dfrac{1}{5};\;\dfrac{{16}}{5}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{26}}{5};\;\dfrac{{41}}{5}} \right].\) Ответ: \(\left[ {\dfrac{1}{5};\;\dfrac{{16}}{5}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{26}}{5};\;\dfrac{{41}}{5}} \right].\) 