Уравнения с модулями. Задача 27

ОТВЕТ: 1/3;  1.

\(\left| {2x-1} \right| + \left| {x + 1} \right| = 2x + 1.\)

Решим исходное уравнение методом интервалов:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{-2x + 1-x-1 = 2x + 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 0,5,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{-2x + 1 + x + 1 = 2x + 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,5,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\,}\\{2x-1 + x + 1 = 2x + 1.}\end{array}\;} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{-2x + 1-x-1 = 2x + 1}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\,}\\{5x =  — 1}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\;\;\,}\\{x = -0,2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 0,5,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{-2x + 1 + x + 1 = 2x + 1}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 0,5,}\\{3x = 1\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 0,5,}\\{x = \dfrac{1}{3}\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{1}{3}.\)

Рассмотрим третью систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,5,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\,}\\{2x-1 + x + 1 = 2x + 1\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0,5,}\\{x = 1\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 1.\)

Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{3},}\\{x = 1.\;}\end{array}} \right.\)

Ответ:   \(\dfrac{1}{3};\;\;\;1.\)