Задача 28. Решите уравнение    \(\left| {x-1} \right| = 2\left| x \right|-4\)

Ответ

ОТВЕТ: -5;  3.

Решение

\(\left| {x-1} \right| = 2\left| x \right|-4.\)

Решим исходное уравнение методом интервалов:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x + 1 = -2x-4}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x + 1 = 2x-4}\end{array}\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{x-1 = 2x-4.}\end{array}\;\;\;\,} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x + 1 = -2x-4}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\,}\\{x = -5}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -5.\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x + 1 = 2x-4}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 1,}\\{x = \dfrac{5}{3}\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Рассмотрим третью систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\,}\\{x-1 = 2x-4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,}\\{x = 3}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 3.\)

Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -5,}\\{x = 3.\;\;}\end{array}} \right.\)

Ответ:   \(-5;\;\;\;3.\)