Задача 31. Решите уравнение    \(\left| {4x — 8} \right| — 3\left| {x — 1} \right| =  — 2\)

Ответ

ОТВЕТ: 13/7;  3.

Решение

\[\left| {4x — 8} \right| — 3\left| {x — 1} \right| =  — 2.\]

Решим исходное уравнение методом интервалов:  \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{ — 4x + 8 + 3x — 3 =  — 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\,}\\{ — 4x + 8 — 3x + 3 =  — 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{4x — 8 — 3x + 3 =  — 2.}\end{array}\;} \right.}\end{array}} \right.\]

Рассмотрим первую систему:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{ — 4x + 8 + 3x — 3 =  — 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,}\\{x = 7}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\]

Рассмотрим вторую систему:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\,}\\{ — 4x + 8 — 3x + 3 =  — 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,}\\{x = \dfrac{{13}}{7}\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{{13}}{7}.\]

Рассмотрим третью систему:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{4x — 8 — 3x + 3 =  — 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,}\\{x = 3\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 3.\]

Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид:  \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\;}\\{x = \dfrac{{13}}{7}.}\end{array}} \right.\]

Ответ:  13/7;  3.