\(\left| {x-1} \right| + \left| {x + 1} \right| = 4.\)
Решим исходное уравнение методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x + 1-x-1 = 4}\end{array}\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{-x + 1 + x + 1 = 4}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{x-1 + x + 1 = 4.}\end{array}\;\,} \right.}\end{array}} \right.\)
Рассмотрим первую систему:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x + 1-x-1 = 4}\end{array}\,} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,}\\{x = -2\,}\end{array}\,} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -2.\)
Рассмотрим вторую систему:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{-x + 1 + x + 1 = 4}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 1,}\\{2 = 4\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)
Рассмотрим третью систему:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\,}\\{x-1 + x + 1 = 4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,}\\{x = 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 2.\)
Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид: \(x = \pm 2.\)
Ответ: \( \pm 2.\)