Задача 32. Решите уравнение    \(\left| {x-1} \right| + \left| {x + 1} \right| = 4\)

Ответ

ОТВЕТ: -2;  2.

Решение

\(\left| {x-1} \right| + \left| {x + 1} \right| = 4.\)

Решим исходное уравнение методом интервалов:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x + 1-x-1 = 4}\end{array}\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{-x + 1 + x + 1 = 4}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{x-1 + x + 1 = 4.}\end{array}\;\,} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x + 1-x-1 = 4}\end{array}\,} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,}\\{x = -2\,}\end{array}\,} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -2.\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{-x + 1 + x + 1 = 4}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 1,}\\{2 = 4\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Рассмотрим третью систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\,}\\{x-1 + x + 1 = 4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,}\\{x = 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 2.\)

Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид:  \(x =  \pm 2.\)

Ответ:   \( \pm 2.\)