Уравнения с модулями. Задача 35

ОТВЕТ: \(\left[ {-3;\;-2} \right] \cup \left[ {2;\;3} \right].\)

\(\left| {{x^2}-9} \right| + \left| {{x^2}-4} \right| = 5.\)

Решим исходное уравнение методом интервалов:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ \begin{array}{l}x < -3,\,\,\,\,x > 3\\{x^2}-9 + {x^2}-4 = 5\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left\{ \begin{array}{l}-3 \le x \le -2,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\\-{x^2} + 9 + {x^2}-4 = 5\end{array} \right.}\\{\left\{ \begin{array}{l}-2 < x < 2,\,\,\\-{x^2} + 9-{x^2} + 4 = 5\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ \begin{array}{l}x < -3,\,\,\,\,x > 3\\{x^2}-9 + {x^2}-4 = 5\end{array} \right.\,\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x < -3,\,\,\,\,x > 3\\{x^2}-9 = 0\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}x < -3,\,\,\,\,x > 3\\x =  \pm 3\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ \begin{array}{l}-3 \le x \le -2,\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\\-{x^2} + 9 + {x^2}-4 = 5\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}-3 \le x \le -2,\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\\5 = 5\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-3;-2} \right] \cup \left[ {2;3} \right].\)

Рассмотрим третью систему:

\(\left\{ \begin{array}{l}-2 < x < 2,\\-{x^2} + 9-{x^2} + 4 = 5\end{array} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}-2 < x < 2,\\2{x^2}-8 = 0\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}-2 < x < 2,\\x =  \pm 2\end{array} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид:  \(x \in \left[ {-3;-2} \right] \cup \left[ {2;3} \right].\)

Ответ:   \(\left[ {-3;\;-2} \right] \cup \left[ {2;\;3} \right].\)