Задача 40. Решите уравнение \(\dfrac{5}{{3-\left| {x-1} \right|}} = \left| x \right| + 2\)
ОТВЕТ: \(\sqrt 5 -2;\;\;3.\)
\(\dfrac{5}{{3-\left| {x-1} \right|}} = \left| x \right| + 2.\) Решим исходное уравнение методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{5}{{2 + x}} = -x + 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 1,\,\;\;\,\;\;\,}\\{\dfrac{5}{{2 + x}} = x + 2}\end{array}\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{5}{{4-x}} = x + 2.}\end{array}\,\;} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{5}{{2 + x}} = -x + 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{{5 + 2x-4 + {x^2}-2x}}{{2 + x}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\;\;\;\,\;\,}\\{\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2 + x}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\,\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = -1,}\\{x \ne -2\;\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 1,\,\;\;\,\;\;\,}\\{\dfrac{5}{{2 + x}} = x + 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 1,\,\;\,\,\;\;\;\;\,\;\,}\\{\dfrac{{5-{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{2 + x}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 1,\,\;\;\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt 5 -2,\;\;}\\{x = -\sqrt 5 -2}\end{array}} \right.}\\{x \ne -2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \sqrt 5 -2.\) Рассмотрим третью систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{5}{{4-x}} = x + 2}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{{5-4x-8 + {x^2} + 2x}}{{4-x}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{{{x^2}-2x-3}}{{4-x}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;}\\{x = -1}\end{array}} \right.}\\{x \ne 4\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 3.\) Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt 5 -2,}\\{x = 3.\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Ответ: \(\sqrt 5 -2;\;\;\;3.\)