Задача 49. Решите неравенство \(\dfrac{3}{{\left| {x + 3} \right|-1}} \ge \left| {x + 2} \right|\).
ОТВЕТ: \(\left[ {-5;\;-4} \right) \cup \left( {-2;\;\sqrt 3 -2} \right].\)
\(\dfrac{3}{{\left| {x + 3} \right|-1}} \ge \left| {x + 2} \right|.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\dfrac{3}{{\left| {x + 3} \right|-1}} \ge \left| {x + 2} \right|\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{3}{{-x-3-1}} \ge -x-2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le -2,\;\;\;\,\;\,\;\;}\\{\dfrac{3}{{x + 3-1}} \ge -x-2}\end{array}\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\dfrac{3}{{x + 3-1}} \ge x + 2.}\end{array}\;\;\;} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{3}{{-x-3-1}} \ge -x-2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{3}{{x + 4}} \le x + 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{\dfrac{{3-{x^2}-6x-8}}{{x + 4}} \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{\dfrac{{{x^2} + 6x + 5}}{{x + 4}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\;\;\;\;\,\,\,\,\;\,}\\{\dfrac{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 4}} \ge 0.}\end{array}} \right.\) Решим полученную систему методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left[ {-5;-4} \right).\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le -2,\;\;\;\,\;\,\;\;}\\{\dfrac{3}{{x + 3-1}} \ge -x-2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le -2,\;\;\;\,\;}\\{\dfrac{{3 + {{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{x + 2}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le -2,}\\{x + 2 > 0\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le -2,}\\{x > -2\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\,\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Рассмотрим третью систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -2,\;\;\;\;\,\;\;}\\{\dfrac{3}{{x + 3-1}} \ge x + 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -2,\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;}\\{\dfrac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}-{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{x + 2}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -2,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\,\;\,}\\{\dfrac{{\left( {x + 2 + \sqrt 3 } \right)\left( {x + 2-\sqrt 3 } \right)}}{{x + 2}} \le 0.}\end{array}} \right.\) Решим полученную систему методом интервалов: Следовательно, \(x \in \left( {-2;\sqrt 3 -2} \right].\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{3}{{-x-3-1}} \ge -x-2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le -2,\;\;\;\,\;\,\;\;}\\{\dfrac{3}{{x + 3-1}} \ge -x-2}\end{array}\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\dfrac{3}{{x + 3-1}} \ge x + 2\,}\end{array}\;\;\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left[ {-5;-4} \right),\;\;\;\;\;}\\{x \in \left( {-2;\sqrt 3 -2} \right]}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-5;-4} \right) \cup \left( {-2;\sqrt 3 -2} \right].\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-5;\;-4} \right) \cup \left( {-2;\;\sqrt 3 -2} \right].\) Ответ: \(\left[ {-5;\;-4} \right) \cup \left( {-2;\;\sqrt 3 -2} \right].\) 
