Простейшие иррациональные уравнения. Задача 16

ОТВЕТ: -6;  3.

\(3\sqrt[3]{{x-2}} = x\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,27\left( {x-2} \right) = {x^3}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^3}-27x + 54 = 0.\)

Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного 54, то есть: \( \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 3;\,\, \pm 6;\,\, \pm 9;\,\, \pm 18;\,\, \pm 27;\,\, \pm 54.\) Подходит \(x = 3.\) Разделим многочлен \({x^3}-27x + 54\) на многочлен \(x-3\):

Следовательно, многочлен \({x^3}-27x + 54\) раскладывается на множители: \(\left( {x-3} \right)\left( {{x^2} + 3x-18} \right).\) Тогда:

\(\left( {x-3} \right)\left( {{x^2} + 3x-18} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-3 = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^2} + 3x-18 = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\,\,\,}\\{x = -6.}\end{array}} \right.\)

Ответ:  \(-6;\,\,3.\)