Иррациональные уравнения повышенной сложности. Задача 16math100admin44242024-06-19T22:31:15+03:00
Задача 16. Решите уравнение \(\sqrt {{x^2} + 32} — 2\,\sqrt[4]{{{x^2} + 32}} = 3\)
Решение
\(\sqrt {{x^2} + 32} -2\,\sqrt[4]{{{x^2} + 32}} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt[4]{{{{\left( {{x^2} + 32} \right)}^2}}}-2\sqrt[4]{{{x^2} + 32}}-3 = 0.\)
Пусть \(\sqrt[4]{{{x^2} + 32}} = t,\;\;\;t \ge 0.\) Тогда полученное уравнение примет вид:
\({t^2}-2t-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 3,\;\;\;\;\,\;\,}\\{t = -1 < 0.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\sqrt[4]{{{x^2} + 32}} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 32 = 81\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} = 49\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm 7.\)
ОТВЕТ: -7; 7.