Иррациональные уравнения повышенной сложности. Задача 23math100admin44242025-03-27T18:04:10+03:00
Задача 23. Решите уравнение \(3{x^2} + 2\sqrt {{x^2} + 5x + 1} = 2 — 15x\)
Решение
\(3{x^2} + 2\sqrt {{x^2} + 5x + 1} = 2-15x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3{x^2} + 15x + 2\sqrt {{x^2} + 5x + 1} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;3\left( {{x^2} + 5x} \right) + 2\sqrt {{x^2} + 5x + 1} = 2.\)
Пусть \(\sqrt {{x^2} + 5x + 1} = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда: \({x^2} + 5x + 1 = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 5x = {t^2}-1.\)
Исходное уравнение примет вид:
\(3\left( {{t^2}-1} \right) + 2t-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3{t^2} + 2t-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;}\\{{t} = -\dfrac{5}{3} < 0.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\({x^2} + 5x + 1 = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 5x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x + 5} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -5,}\\{x = 0.\;\;}\end{array}} \right.\)
ОТВЕТ: -5; 0.