\(\sqrt[3]{{20 + x}}-\sqrt[3]{{x-8}} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt[3]{{20 + x}} + \sqrt[3]{{8-x}} = 4.\)
Возведём обе части уравнения в третью степень. Воспользуемся формулой:
\({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right).\)
\(\sqrt[3]{{20 + x}} + \sqrt[3]{{8-x}} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;20 + x + 8-x + 3\sqrt[3]{{20 + x}} \cdot \sqrt[3]{{8-x}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{20 + x}} + \sqrt[3]{{8-x}}} \right) = 64.\)
Заметим из исходного уравнения, что \(\sqrt[3]{{20 + x}} + \sqrt[3]{{8-x}} = 4.\) Тогда:
\(20 + x + 8-x + 3\sqrt[3]{{20 + x}} \cdot \sqrt[3]{{8-x}} \cdot \left( {\sqrt[3]{{20 + x}} + \sqrt[3]{{8-x}}} \right) = 64\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;20 + x + 8-x + 3\sqrt[3]{{20 + x}} \cdot \sqrt[3]{{8-x}} \cdot 4 = 64\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;12\sqrt[3]{{\left( {20 + x} \right)\left( {8-x} \right)}} = 36\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt[3]{{\left( {20 + x} \right)\left( {8-x} \right)}} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left( {20 + x} \right)\left( {8-x} \right) = {3^3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;160-20x + 8x-{x^2} = 27\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 12x-133 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 7,\;\;\;\,\,}\\{{x} = -19.}\end{array}} \right.\)
Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
ОТВЕТ: -19; 7.