Задача 32. Решите уравнение \(\sqrt[3]{{19 + x}} + \sqrt {17 — x} = 6\)
ОТВЕТ: -83; -19; 8.
\(\sqrt[3]{{19 + x}} + \sqrt {17-x} = 6.\) Запишем ОДЗ: \(17-x \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le 17.\) Пусть \(\sqrt[3]{{19 + x}} = t.\) Тогда: \(19 + x = {t^3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = {t^3}-19.\) Исходное уравнение примет вид: \(t + \sqrt {17-{t^3} + 19} = 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {36-{t^3}} = 6-t.\) Получили уравнение вида \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;}\\{f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right).}\end{array}} \right.\) Тогда последнее уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6-t \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{36-{t^3} = 36-12t + {t^2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 6,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{t^3} + {t^2}-12t = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 6,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;}\\{t\left( {{t^2} + t-12} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 6,\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3,\;\;\,}\\{t = -4,\,}\\{t = 0\;\;\,\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3,\;\;\,}\\{t = -4,\,}\\{t = 0.\,\;\,\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt[3]{{19 + x}} = 3,\;\;}\\{\sqrt[3]{{19 + x}} = -4,}\\{\sqrt[3]{{19 + x}} = 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{19 + x = 27,\;\;}\\{19 + x = -64,}\\{19 + x = 0\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{x}} = 8,\;\;\;\;}\\{{{x}} = -83,}\\{{{x}} = -19.}\end{array}} \right.\) ОТВЕТ: -83; -19; 8.