Иррациональные уравнения повышенной сложности. Задача 5math100admin44242025-03-27T17:54:16+03:00
Задача 5. Решите уравнение \(\sqrt {\dfrac{{x + 3}}{{x — 3}} + \sqrt x } = \sqrt {\dfrac{{2x — 6}}{{x — 4}} + \sqrt x } \)
Решение
\(\sqrt {\dfrac{{x + 3}}{{x-3}} + \sqrt x } = \sqrt {\dfrac{{2x-6}}{{x-4}} + \sqrt x } \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\sqrt {\dfrac{{x + 3}}{{x-3}} + \sqrt x } } \right)^2} = {\left( {\sqrt {\dfrac{{2x-6}}{{x-4}} + \sqrt x } } \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{x + 3}}{{x-3}} + \sqrt x = \dfrac{{2x-6}}{{x-4}} + \sqrt x \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{x + 3}}{{x-3}} = \dfrac{{2x-6}}{{x-4}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^2} + 3x-4x-12-2{x^2} + 6x + 6x-18}}{{\left( {x-3} \right)\left( {x-4} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-11x + 30 = 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{x \ne 4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 5,}\\{{x} = 6\,}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 3,\;\;\,}\\{x \ne 4\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 5,\,}\\{{x} = 6.}\end{array}} \right.\)
Так как в начале решения уравнения не было найдено ОДЗ, решение которого является достаточно громоздким, то проверкой убеждаемся, что \({x_1} = 5\) и \({x_2} = 6\) являются корнями исходного уравнения.
ОТВЕТ: 5; 6.