\({25^x}-5 \cdot {10^x}-6 \cdot {4^x} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{25^x}-5 \cdot {10^x}-6 \cdot {4^x} \le 0\,\left| {:{4^x} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\dfrac{{25}}{4}} \right)^x}-5 \cdot {\left( {\dfrac{{10}}{4}} \right)^x}-6 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^{2x}}-5 \cdot {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^x}-6 \le 0.\)
Пусть \({\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-5t-6 \le 0.\)
\({t^2}-5t-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -1,}\\{{t} = 6.\,\,\,}\end{array}} \right.\)
\({t^2}-5t-6 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t + 1} \right)\left( {t-6} \right) \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\(-1 \le t \le 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-1 \le {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^x} \le 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^x} \le {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^{{{\log }_{\frac{5}{2}}}6}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le {\log _{\dfrac{5}{2}}}6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \le {\log _{2,5}}6.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;{{\log }_{2,5}}6} \right].\)
Ответ: \(\left( {-\infty ;\;{{\log }_{2,5}}6} \right].\)