\({\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\dfrac{{{x^2}-3x + 4}}{x}}}-{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^{\dfrac{{{x^2}-3x + 4}}{x}}} \le 2 \cdot {\left( {\dfrac{1}{{12}}} \right)^{\dfrac{{{x^2}-3x + 4}}{x}}}.\)
Пусть \(\dfrac{{{x^2}-3x + 4}}{x} = t.\) Тогда неравенство примет вид:
\({\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^t}-{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^t} \le 2 \cdot {\left( {\dfrac{1}{{12}}} \right)^t}\left| {:{{\left( {\dfrac{1}{{12}}} \right)}^t} > 0} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{4^t}-{2^t}-2 \le 0.\)
Пусть \({2^t} = y.\) Тогда неравенство примет вид:
\({y^2}-y-2 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y} = -1,}\\{{y} = 2.\;\,}\end{array}} \right.\)
\({y^2}-y-2 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left( {y + 1} \right)\left( {y-2} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,-1 \le y \le 2.\)
Вернёмся к переменной \(t:\)
\(-1 \le {2^t} \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^t} \ge -1,}\\{{2^t} \le {2^1}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \in R,}\\{t \le 1\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.t \le 1.\)
Вернёмся к переменной \(x:\)
\(\dfrac{{{x^2}-3x + 4}}{x} \le 1\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^2}-4x + 4}}{x} \le 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}}{x} \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left\{ 2 \right\}.\)
Ответ: \(\left( {-\infty ;0} \right) \cup \left\{ 2 \right\}.\)