\(\dfrac{{{4^x}-{2^{x + 4}} + 30}}{{{2^x}-2}} + \dfrac{{{4^x}-7 \cdot {2^x} + 3}}{{{2^x}-7}} \le {2^{x + 1}}-14\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{2^{2x}}-16 \cdot {2^x} + 30}}{{{2^x}-2}} + \dfrac{{{2^{2x}}-7 \cdot {2^x} + 3}}{{{2^x}-7}} \le 2 \cdot {2^x}-14 \)
Пусть \({2^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид:
\(\dfrac{{{t^2}-16t + 30}}{{t-2}} + \dfrac{{{t^2}-7t + 3}}{{t-7}} \le 2t-14\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2}-2t-14t + 28 + 2}}{{t-2}} + \dfrac{{{t^2}-7t}}{{t-7}} + \dfrac{3}{{t-7}} \le 2t-14\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{t\left( {t-2} \right)}}{{t-2}} + \dfrac{{-14\left( {t-2} \right)}}{{t-2}} + \dfrac{2}{{t-2}} + \dfrac{{t\left( {t-7} \right)}}{{t-7}} + \dfrac{3}{{t-7}} \le 2t-14\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;t-14 + \dfrac{2}{{t-2}} + t + \dfrac{3}{{t-7}} \le 2t-14\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{2}{{t-2}} + \dfrac{3}{{t-7}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2t-14 + 3t-6}}{{\left( {t-2} \right)\left( {t-7} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{5t-20}}{{\left( {t-2} \right)\left( {t-7} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{t-4}}{{\left( {t-2} \right)\left( {t-7} \right)}} \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < 2,\;\;\;\;\,}\\{4 \le t < 7}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} < 2,\;\;\;\;\,}\\{4 \le {2^x} < 7}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} < {2^1},\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{{2^2} \le {2^x} < {2^{{{\log }_2}7}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{2 \le x < {{\log }_2}7.}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;1} \right) \cup \left[ {2;{{\log }_2}7} \right).\)
Ответ: \(\left( {-\infty ;1} \right) \cup \left[ {2;{{\log }_2}7} \right).\)