\({2^{2x + 4}}-16 \cdot {2^{x + 3}}-{2^{x + 1}} + 16 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^4} \cdot {2^{2x}}-16 \cdot {2^x} \cdot {2^3}-2 \cdot {2^x} + 16 \le 0\left| {:2} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;8 \cdot {2^{2x}}-64 \cdot {2^x}-{2^x} + 8 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;8 \cdot {2^{2x}}-65 \cdot {2^x} + 8 \le 0.\)
Пусть \({2^x} = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(8{t^2}-65t + 8 \le 0.\)
\(8{t^2}-65t + 8 = 0;\;\;\;\;\;\;D = {65^2}-4 \cdot 8 \cdot 8 = {65^2}-{\left( {8 \cdot 2} \right)^2} = \left( {65-16} \right)\left( {65 + 16} \right) = 49 \cdot 81,\)
\(\sqrt D = \sqrt {49 \cdot 81} = 7 \cdot 9 = 63;\;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \dfrac{{65 + 63}}{{16}} = 8,\,\,}\\{{t} = \dfrac{{65-63}}{{16}} = \dfrac{1}{8}.}\end{array}} \right.\)
\(8{t^2}-65t + 8 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-8} \right)\left( {8t-1} \right) \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\(\dfrac{1}{8} \le t \le 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{-3}} \le {2^x} \le {2^3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-3 \le x \le 3.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-3;3} \right].\)
Ответ: \(\left[ {-3;3} \right]\).