Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 1

ОТВЕТ: \(\left( {0;\;\dfrac{1}{{10}}} \right) \cup \left( {100;\;\infty } \right).\)

\({\lg ^2}x-\lg x-2 > 0.\)   ОДЗ:  \(x\, \in \,\left( {0;\infty } \right).\)

Пусть \(\lg x = t\). Тогда:

\({t^2}-t-2 > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < -1,}\\{t > 2.\,\,}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x < -1,}\\{\lg x > 2\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x < \lg \dfrac{1}{{10}},}\\{\lg x > \lg 100}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,} \right.\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x < \dfrac{1}{{10}},}\\{x > 100\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,} \right.x\, \in \,\left( {0;\dfrac{1}{{10}}} \right) \cup \left( {100;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {0;\dfrac{1}{{10}}} \right) \cup \left( {100;\infty } \right)\).