Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 10

ОТВЕТ: \(\left( {1;\;10} \right).\)

\(\dfrac{{3\lg x-4}}{{\lg x-1}} > 4.\)

Пусть \(\lg x = t\). Тогда:

\(\dfrac{{3t-4}}{{t-1}} > 4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{3t-4}}{{t-1}}-4 > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{-t}}{{t-1}} > 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{t}{{t-1}} < 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,0 < t < 1.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(0 < \lg x < 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\lg 1 < \lg x < \lg 10\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,1 < x < 10\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x\, \in \left( {1;10} \right).\)

Ответ:  \(\left( {1;10} \right).\)