Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 13

Задача 13. Решите неравенство \(\log _{25}^{\,\,2}{x^2} \leqslant 1\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 5;\; — 0,2} \right] \cup \left[ {0,2;\;5} \right].\)

Решение

\(\log _{25}^{\,\,2}{x^2} \le 1.\)

Запишем ОДЗ: \({x^2} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne 0.\)

\(\log _{25}^{\,\,2}{x^2} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-1 \le {\log _{25}}{x^2} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _{25}}\frac{1}{{25}} \le {\log _{25}}{x^2} \le {\log _{25}}25\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{25}} \le {x^2} \le 25\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-5 \le x \le -\dfrac{1}{5},}\\{\dfrac{1}{5} \le x \le 5\,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-5;-0,2} \right] \cup \left[ {0,2;5} \right].\)

Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-5;\;-0,2} \right] \cup \left[ {0,2;\;5} \right].\)

Ответ: \(\left[ {-5;\;-0,2} \right] \cup \left[ {0,2;\;5} \right].\)