Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 14

Задача 14. Решите неравенство \(\log _2^2{x^2} \leqslant 4\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 2;\; — 0,5} \right] \cup \left[ {0,5;\;2} \right].\)

Решение

\(\log _2^2{x^2} \le 4.\)

Запишем ОДЗ: \({x^2} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne 0.\)

\(\log _2^{\,\,2}{x^2} \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-2 \le {\log _2}{x^2} \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\frac{1}{4} \le {\log _2}{x^2} \le {\log _2}4\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{4} \le {x^2} \le 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x \le -\dfrac{1}{2},}\\{\dfrac{1}{2} \le x \le 2\,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-2;-0,5} \right] \cup \left[ {0,5;2} \right].\)

Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-2;\;-0,5} \right] \cup \left[ {0,5;\;2} \right].\)

Ответ: \(\left[ {-2;\;-0,5} \right] \cup \left[ {0,5;\;2} \right].\)