Задача 15. Решите неравенство \(\left| {\left| {{{\log }_2}x — 1} \right| — 4} \right| < 2\)
ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{1}{{32}};\;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {8;\;128} \right).\)
\(\left| {\left| {{{\log }_2}x-1} \right|-4} \right| < 2.\) Запишем ОДЗ: \(x > 0.\) \(\left| {\left| {{{\log }_2}x-1} \right|-4} \right| < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-2 < \left| {{{\log }_2}x-1} \right|-4 < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 < \left| {{{\log }_2}x-1} \right| < 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {{{\log }_2}x-1} \right| > 2,}\\{\left| {{{\log }_2}x-1} \right| < 6.}\end{array}} \right.\) Решим первое неравенство: \(\left| {{{\log }_2}x-1} \right| > 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x-1 > 2,\;}\\{{{\log }_2}x-1 < -2}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x > 3,\;}\\{{{\log }_2}x < -1}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 8,\;\;\;\;\;\;}\\{0 < x < \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {8;\infty } \right).\) Решим второе неравенство: \(\left| {{{\log }_2}x-1} \right| < 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-6 < {\log _2}x-1 < 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-5 < {\log _2}x < 7\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\frac{1}{{32}} < {\log _2}x < {\log _2}128\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{32}} < x < 128\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {\dfrac{1}{{32}};128} \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {{{\log }_2}x-1} \right| > 2,}\\{\left| {{{\log }_2}x-1} \right| < 6\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {8;\infty } \right),}\\{x\, \in \,\left( {\dfrac{1}{{32}};128} \right).\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Найдём общее решение полученной системы: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\dfrac{1}{{32}};\;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {8;\;128} \right).\) Ответ: \(\left( {\dfrac{1}{{32}};\;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {8;\;128} \right).\) 