Задача 16. Решите неравенство \(\left| {\left| {{{\log }_2}x + 1} \right| — 2} \right| < 1\)
ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{1}{{16}};\;\dfrac{1}{4}} \right) \cup \left( {1;\;4} \right).\)
\(\left| {\left| {{{\log }_2}x + 1} \right|-2} \right| < 1.\) Запишем ОДЗ: \(x > 0.\) \(\left| {\left| {{{\log }_2}x + 1} \right|-2} \right| < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-1 < \left| {{{\log }_2}x + 1} \right|-2 < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 < \left| {{{\log }_2}x + 1} \right| < 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {{{\log }_2}x + 1} \right| > 1,}\\{\left| {{{\log }_2}x + 1} \right| < 3.}\end{array}} \right.\) Решим первое неравенство: \(\left| {{{\log }_2}x + 1} \right| > 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x + 1 > 1,\;}\\{{{\log }_2}x + 1 < -1}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x > 0,\;}\\{{{\log }_2}x < -2}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1,\;\;\;\;\;\;}\\{0 < x < \dfrac{1}{4}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) Решим второе неравенство: \(\left| {{{\log }_2}x + 1} \right| < 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-3 < {\log _2}x + 1 < 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-4 < {\log _2}x < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\frac{1}{{16}} < {\log _2}x < {\log _2}4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{16}} < x < 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\, \in \,\left( {\dfrac{1}{{16}};4} \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {{{\log }_2}x + 1} \right| > 1,}\\{\left| {{{\log }_2}x + 1} \right| < 3\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),}\\{x\, \in \,\left( {\dfrac{1}{{16}};4} \right).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Найдём общее решение полученной системы: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\dfrac{1}{{16}};\;\dfrac{1}{4}} \right) \cup \left( {1;\;4} \right).\) Ответ: \(\left( {\dfrac{1}{{16}};\;\dfrac{1}{4}} \right) \cup \left( {1;\;4} \right).\) 