\(\dfrac{{{{\log }_3}x}}{{{{\log }_3}x-2}} \le 1 + \dfrac{1}{{{{\log }_3}x-1}}.\)
Запишем ограничение на подлогарифмическое выражение: \(x > 0.\)
Пусть \({\log _3}x = t.\) Тогда исходное неравенство примет вид:
\(\dfrac{t}{{t-2}} \le 1 + \dfrac{1}{{t-1}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2}-t-{t^2} + t + 2t-2-t + 2}}{{\left( {t-2} \right)\left( {t-1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{t}{{\left( {t-2} \right)\left( {t-1} \right)}} \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 0,\,\;\;\,\,}\\{1 < t < 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x \le 0,\;\,\;\,\,}\\{1 < {{\log }_3}x < 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}x \le {{\log }_3}1,\;\,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\,}\\{{{\log }_3}3 < {{\log }_3}x < {{\log }_3}9}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le 1,}\\{3 < x < 9}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;1} \right] \cup \left( {3;9} \right).\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;1} \right] \cup \left( {3;\;9} \right).\)
Ответ: \(\left( {0;\;1} \right] \cup \left( {3;\;9} \right).\)