Задача 19. Решите неравенство \(\log _7^2\left( {49 — {x^2}} \right) — 3{\log _7}\left( {49 — {x^2}} \right) + 2 \geqslant 0\)
ОТВЕТ: \(\left( { — 7;\; — \sqrt {42} } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {\sqrt {42} ;\;7} \right).\)
\(\log _7^2\left( {49-{x^2}} \right)-3{\log _7}\left( {49-{x^2}} \right) + 2 \ge 0.\) Найдём ОДЗ: \(49-{x^2} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-49 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-7} \right)\left( {x + 7} \right) < 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-7;7} \right).\) Пусть \({\log _7}\left( {49-{x^2}} \right) = t.\) Тогда исходное неравенство примет вид: \({t^2}-3t + 2 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-1} \right)\left( {t-2} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 1,\,}\\{t \ge 2.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_7}\left( {49-{x^2}} \right) \le 1,}\\{{{\log }_7}\left( {49-{x^2}} \right) \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_7}\left( {49-{x^2}} \right) \le {{\log }_7}7,\;}\\{{{\log }_7}\left( {49-{x^2}} \right) \ge {{\log }_7}49}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{49-{x^2} \le 7,\;}\\{49-{x^2} \ge 49}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-{x^2} \le -42,}\\{-{x^2} \ge 0\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} \ge 42,}\\{{x^2} \le 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -\sqrt {42} ,}\\{x \ge \sqrt {42} ,\;\;}\end{array}}\\{x = 0\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-\sqrt {42} } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {\sqrt {42} ;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-7;\;-\sqrt {42} } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {\sqrt {42} ;\;7} \right).\) Ответ: \(\left( {-7;\;-\sqrt {42} } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {\sqrt {42} ;\;7} \right).\) 