Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. Задача 2

ОТВЕТ: \(\left[ {\dfrac{1}{8};\;2} \right].\)

\(\log _2^2x + 2{\log _2}x-3 \le 0.\)  ОДЗ:  \(x\, \in \,\left( {0;\infty } \right).\)

Пусть \({\log _2}x = t\). Тогда:

\({t^2} + 2t-3 \le 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,-3 \le t \le 1.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(-3 \le {\log _2}x \le 1\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\log _2}\dfrac{1}{8} \le {\log _2}x \le {\log _2}2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{8} \le x \le 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x\, \in \,\left[ {\dfrac{1}{8};2} \right].\)

Ответ:  \(\left[ {\dfrac{1}{8};2} \right]\).