Задача 20. Решите неравенство \(\log _9^2\left( {729 — {x^2}} \right) — 5{\log _9}\left( {729 — {x^2}} \right) + 6 \geqslant 0\)
ОТВЕТ: \(\left( { — 27;\; — 18\sqrt 2 } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {18\sqrt 2 ;\;27} \right).\)
\(\log _9^2\left( {729-{x^2}} \right)-5{\log _9}\left( {729-{x^2}} \right) + 6 \ge 0.\) Найдём ОДЗ: \(729-{x^2} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-729 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-27} \right)\left( {x + 27} \right) < 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-27;27} \right).\) Пусть \({\log _9}\left( {729-{x^2}} \right) = t.\) Тогда исходное неравенство примет вид: \({t^2}-5t + 6 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-2} \right)\left( {t-3} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 2,}\\{t \ge 3.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_9}\left( {729-{x^2}} \right) \le 2,}\\{{{\log }_9}\left( {729-{x^2}} \right) \ge 3\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_9}\left( {729-{x^2}} \right) \le {{\log }_9}81,\;}\\{{{\log }_9}\left( {729-{x^2}} \right) \ge {{\log }_9}729}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{729-{x^2} \le 81,\,\;}\\{729-{x^2} \ge 729}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-{x^2} \le -648,}\\{-{x^2} \ge 0\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} \ge 648,}\\{{x^2} \le 0\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -18\sqrt 2 ,}\\{x \ge 18\sqrt 2 ,\;\;}\end{array}}\\{x = 0\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-18\sqrt 2 } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {18\sqrt 2 ;\infty } \right).\) Найдём общее решение с ОДЗ: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-27;\;-18\sqrt 2 } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {18\sqrt 2 ;\;27} \right).\) Ответ: \(\left( {-27;\;-18\sqrt 2 } \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {18\sqrt 2 ;\;27} \right).\) 