\({\left( {\log _5^2x + 1} \right)^2} + 3 \le 7\log _5^2x.\)
Запишем ОДЗ: \(x > 0.\)
Пусть \({\log _5}x = t.\) Тогда исходное неравенство примет вид:
\({\left( {{t^2} + 1} \right)^2} + 3 \le 7{t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^4} + 2{t^2} + 1 + 3-7{t^2} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^4}-5{t^2} + 4 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{t^2}-4} \right)\left( {{t^2}-1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-2} \right)\left( {t + 2} \right)\left( {t-1} \right)\left( {t + 1} \right) \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le {{\log }_5}x \le -1,}\\{1 \le {{\log }_5}x \le 2\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_5}\frac{1}{{25}} \le {{\log }_5}x \le {{\log }_5}\frac{1}{5},}\\{{{\log }_5}5 \le {{\log }_5}x \le {{\log }_5}25\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,04 \le x \le 0,2,}\\{5 \le x \le 25.\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {0,04;\;0,2} \right] \cup \left[ {5;\;25} \right].\)
Ответ: \(\left[ {0,04;\;0,2} \right] \cup \left[ {5;\;25} \right].\)