\({\left( {\log _3^2x-2} \right)^2} + 5 \le 6\log _3^2x.\)
Запишем ОДЗ: \(x > 0.\)
Пусть \({\log _3}x = t.\) Тогда исходное неравенство примет вид:
\({\left( {{t^2}-2} \right)^2} + 5 \le 6{t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^4}-4{t^2} + 4 + 5-6{t^2} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^4}-10{t^2} + 9 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{t^2}-9} \right)\left( {{t^2}-1} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t-3} \right)\left( {t + 3} \right)\left( {t-1} \right)\left( {t + 1} \right) \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le {{\log }_3}x \le -1,}\\{1 \le {{\log }_3}x \le 3\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}\frac{1}{{27}} \le {{\log }_3}x \le {{\log }_3}\frac{1}{3},}\\{{{\log }_3}3 \le {{\log }_3}x \le {{\log }_3}27\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{{27}} \le x \le \dfrac{1}{3},}\\{3 \le x \le 27.\;\,}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {\dfrac{1}{{27}};\;\dfrac{1}{3}} \right] \cup \left[ {3;\;27} \right].\)
Ответ: \(\left[ {\dfrac{1}{{27}};\;\dfrac{1}{3}} \right] \cup \left[ {3;\;27} \right].\)