\(\log _{0,5}^{\;\,2}\left( {8 + 2x-{x^2}} \right)-7{\log _2}\left( {8 + 2x-{x^2}} \right) < -12.\)
Найдём ОДЗ:
\(8 + 2x-{x^2} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-2x-8 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 2} \right)\left( {x-4} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x \in \left( {-2;4} \right).\)
\(\log _{0,5}^{\;\,2}\left( {8 + 2x-{x^2}} \right)-7{\log _2}\left( {8 + 2x-{x^2}} \right) < -12\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\log _2^2\left( {8 + 2x-{x^2}} \right)-7{\log _2}\left( {8 + 2x-{x^2}} \right) + 12 < 0.\)
Пусть \({\log _2}\left( {8 + 2x-{x^2}} \right) = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-7t + 12 < 0.\)
\({t^2}-7t + 12 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 3,\,}\\{{t} = 4.}\end{array}} \right.\)
\({t^2}-7t + 12 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\left( {t-3} \right)\left( {t-4} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3 < t < 4.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(3 < {\log _2}\left( {8 + 2x-{x^2}} \right) < 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}8 < {\log _2}\left( {8 + 2x-{x^2}} \right) < {\log _2}16\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;8 < 8 + 2x-{x^2} < 16\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8 + 2x-{x^2} > 8,\;}\\{8 + 2x-{x^2} < 16}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x-{x^2} > 0,\;\;\;\;\;\,\;}\\{-8 + 2x-{x^2} < 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-2x < 0,\;\;\,\,\;}\\{{x^2}-2x + 8 > 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {x-2} \right) < 0,\,\,\;}\\{{x^2}-2x + 8 > 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {0;2} \right),}\\{x \in R\;\;\;\;\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.} \right.\;\;\;\;x \in \left( {0;2} \right).\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {0;\;2} \right).\)
Ответ: \(\left( {0;\;2} \right).\)