Задача 25. Решите неравенство \({\left( {\log _2^2x — 2{{\log }_2}x} \right)^2} + 36{\log _2}x + 45 < 18\log _2^2x\)
ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{1}{8};\;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {8;\;32} \right).\)
\({\left( {\log _2^2x-2{{\log }_2}x} \right)^2} + 36{\log _2}x + 45 < 18\log _2^2x.\) Запишем ОДЗ: \(x > 0.\) \({\left( {\log _2^2x-2{{\log }_2}x} \right)^2} + 36{\log _2}x + 45 < 18\log _2^2x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\log _2^2x-2{{\log }_2}x} \right)^2}-18\left( {\log _2^2x-2{{\log }_2}x} \right) + 45 < 0.\) Пусть \(\log _2^2x-2{\log _2}x = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2}-18t + 45 < 0.\) \({t^2}-18t + 45 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 3,\;\,}\\{{t} = 15.}\end{array}} \right.\) \({t^2}-18t + 45 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left( {t-3} \right)\left( {t-15} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3 < t < 15.\) Вернёмся к прежней переменной: \(3 < \log _2^2x-2{\log _2}x < 15\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\log _2^2x-2{{\log }_2}x > 3,\,}\\{\log _2^2x-2{{\log }_2}x < 15}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\log _2^2x-2{{\log }_2}x-3 > 0,\,\;}\\{\log _2^2x-2{{\log }_2}x-15 < 0.}\end{array}} \right.\) Пусть \({\log _2}x = y.\) Тогда система неравенств примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y^2}-2y-3 > 0,}\\{{y^2}-2y-15 < 0}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {y + 1} \right)\left( {y-3} \right) > 0,}\\{\left( {y + 3} \right)\left( {y-5} \right) < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y < -1,}\\{y > 3\;\;\,}\end{array}\;\;\;\,} \right.}\\{-3 < y < 5.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к переменной \(x\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x < -1,}\\{{{\log }_2}x > 3\;\;\,}\end{array}\;\;\,} \right.}\\{-3 < {{\log }_2}x < 5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x < {{\log }_2}\frac{1}{2},}\\{{{\log }_2}x > {{\log }_2}8\;\;\,}\end{array}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,} \right.}\\{{{\log }_2}\frac{1}{8} < {{\log }_2}x < {{\log }_2}32}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x < \dfrac{1}{2},}\\{x > 8\,\,\,\,\,\,\,\,\;\,}\end{array}\;\;\;\,} \right.}\\{\dfrac{1}{8} < x < 32.}\end{array}} \right.\) Найдём общее решение полученной системы: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\dfrac{1}{8};\;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {8;\;32} \right).\) Ответ: \(\left( {\dfrac{1}{8};\;\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {8;\;32} \right).\) 