Задача 26. Решите неравенство \({\left( {\log _2^2x + 3{{\log }_2}x} \right)^2} < 2\log _2^2x + 6{\log _2}x + 8\)
ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{1}{{16}};\;\dfrac{1}{4}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};\;2} \right).\)
\({\left( {\log _2^2x + 3{{\log }_2}x} \right)^2} < 2\log _2^2x + 6{\log _2}x + 8.\) Запишем ОДЗ: \(x > 0.\) \({\left( {\log _2^2x + 3{{\log }_2}x} \right)^2} < 2\log _2^2x + 6{\log _2}x + 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\log _2^2x + 3{{\log }_2}x} \right)^2} < 2\left( {\log _2^2x + 3{{\log }_2}x} \right) + 8.\) Пусть \(\log _2^2x + 3{\log _2}x = t.\) Тогда неравенство примет вид: \({t^2} < 2t + 8.\) \({t^2}-2t-8 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -2,}\\{{t} = 4.\;\,}\end{array}} \right.\) \({t^2}-2t-8 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left( {t + 2} \right)\left( {t-4} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-2 < t < 4.\) Вернёмся к прежней переменной: \(-2 < \log _2^2x + 3{\log _2}x < 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\log _2^2x + 3{{\log }_2}x > -2,}\\{\log _2^2x + 3{{\log }_2}x < 4\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\log _2^2x + 3{{\log }_2}x + 2 > 0,}\\{\log _2^2x + 3{{\log }_2}x-4 < 0.}\end{array}} \right.\) Пусть \({\log _2}x = y.\) Тогда система неравенств примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y^2} + 3y + 2 > 0,}\\{{y^2} + 3y-4 < 0\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {y + 2} \right)\left( {y + 1} \right) > 0,}\\{\left( {y + 4} \right)\left( {y-1} \right) < 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y < -2,}\\{y > -1\;}\end{array}\;\;\;\,} \right.}\\{-4 < y < 1.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к переменной \(x\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x < -2,}\\{{{\log }_2}x > -1\,\,}\end{array}\;\;\,} \right.}\\{-4 < {{\log }_2}x < 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}x < {{\log }_2}\frac{1}{4},}\\{{{\log }_2}x > {{\log }_2}\frac{1}{2}\;}\end{array}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,} \right.}\\{{{\log }_2}\frac{1}{{16}} < {{\log }_2}x < {{\log }_2}2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x < \dfrac{1}{4},}\\{x > \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\;\;\;\,} \right.}\\{\dfrac{1}{{16}} < x < 2.}\end{array}} \right.\) Найдём общее решение полученной системы: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\dfrac{1}{{16}};\;\dfrac{1}{4}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};\;2} \right).\) Ответ: \(\left( {\dfrac{1}{{16}};\;\dfrac{1}{4}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};\;2} \right).\) 