Задача 27. Решите неравенство \(\dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\lg }^2}x + 4\lg x} \right)}^2}}} + \dfrac{7}{{{{\lg }^2}x + 4\lg x}} + 1 \geqslant 0\)
ОТВЕТ: \(\left( {0;\;0,0001} \right) \cup \left( {0,0001;\;0,001} \right] \cup \left\{ {0,01} \right\} \cup \left[ {0,1;\;1} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\)
\(\dfrac{{12}}{{{{\left( {{{\lg }^2}x + 4\lg x} \right)}^2}}} + \dfrac{7}{{{{\lg }^2}x + 4\lg x}} + 1 \ge 0.\) Запишем ограничение на подлогарифмическое выражение: \(x > 0.\) Пусть \({\lg ^2}x + 4\lg x = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\dfrac{{12}}{{{t^2}}} + \dfrac{7}{t} + 1 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2} + 7t + 12}}{{{t^2}}} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя: \({t^2} + 7t + 12 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = -4,}\\{{t} = -3.}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \({t^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = 0.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le -4,\;\;}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ge -3,}\\{t \ne 0\;\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\lg }^2}x + 4\lg x \le -4,\;\,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\lg }^2}x + 4\lg x \ge -3,}\\{{{\lg }^2}x + 4\lg x \ne 0.\,\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим неравенство: \({\lg ^2}x + 4\lg x \le -4\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\lg x + 2} \right)^2} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\lg x + 2 = 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 0,01.\) Рассмотрим неравенство: \({\lg ^2}x + 4\lg x \ge -3.\) Пусть \(\lg x = y.\) Тогда неравенство примет вид: \({y^2} + 4y + 3 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {y + 1} \right)\left( {y + 3} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \le -3,}\\{y \ge -1.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к переменной \(x\): \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x \le -3,}\\{\lg x \ge -1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x \le \lg \,0,001,}\\{\lg x \ge \lg 0,1\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < x \le \,0,001,}\\{x \ge 0,1\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;0,001} \right] \cup \left[ {0,1;\infty } \right).\) Рассмотрим условие: \({\lg ^2}x + 4\lg x \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\,\lg x\left( {\lg x + 4} \right) \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\lg x \ne 0,\;}\\{\lg x \ne -4}\end{array}} \right.\,\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{x \ne 0,0001.}\end{array}} \right.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\lg }^2}x + 4\lg x \le -4,\;\,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\lg }^2}x + 4\lg x \ge -3,}\\{{{\lg }^2}x + 4\lg x \ne 0\;\,\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,01,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {0;0,001} \right] \cup \left[ {0,1;\infty } \right),}\\{x \ne 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x \ne 0,0001\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {0;\;0,0001} \right) \cup \left( {0,0001;\;0,001} \right] \cup \left\{ {0,01} \right\} \cup \left[ {0,1;\;1} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {0;\;0,0001} \right) \cup \left( {0,0001;\;0,001} \right] \cup \left\{ {0,01} \right\} \cup \left[ {0,1;\;1} \right) \cup \left( {1;\;\infty } \right).\) 